Sistema di equazioni lineari Wikipedia. In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, un sistema composto da pi equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Linear Algebra By Hoffman And Kunze Pdf' title='Linear Algebra By Hoffman And Kunze Pdf' />Una soluzione del sistema un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identit. Un sistema di equazioni lineari un insieme di mdisplaystyle mequazioni lineari in ndisplaystyle n incognite, che pu essere scritto nel modo seguente 12a. Il numero ndisplaystyle n delle incognite detto anche ordine del sistema. Se termini noti bidisplaystyle bi sono tutti nulli il sistema detto omogeneo. Una ndisplaystyle n upla x. ANNEXUREI HIMACHAL PRADESH UNIVERSITY DETAILS OF SYLLABI M. A. M. Sc. Mathematics w. July 2006 Duration Two Years Four Semesters Semester I Semester III. In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, una struttura algebrica composta da Un campo Un insieme i cui elementi sono detti vettori. I/41LbsedNkIL._SR600%2C315_PIWhiteStrip%2CBottomLeft%2C0%2C35_PIStarRatingFOURANDHALF%2CBottomLeft%2C360%2C-6_SR600%2C315_ZA(39%20Reviews)%2C445%2C286%2C400%2C400%2Carial%2C12%2C4%2C0%2C0%2C5_SCLZZZZZZZ_.jpg' alt='Linear Algebra By Hoffman And Kunze Pdf' title='Linear Algebra By Hoffman And Kunze Pdf' />9781436883979 1436883970 Labors Wrongs and Labors Remedy Or the Age of Might and the Age of Right 1839, John Francis Bray 9780769282633 0769282636 Cantata No. Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno combinazione lineare delle equazioni dellaltro. In notazione indiciale il sistema si scrive jnaijxjbidisplaystyle sum jnaijxjbiDefinendo i vettori dei coefficienti aiai. Definendo xdisplaystyle mathbf x il vettore delle ndisplaystyle n incognite xx. Se il sistema omogeneo il vettore delle incognite quindi ortogonale ai vettori dei coefficienti. Usando le matrici ed il prodotto scalare fra matrici prodotto riga per colonna si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente a. Ora se. Adisplaystyle A la matrice mndisplaystyle mtimes n dei coefficienti Aa. Aequiv beginpmatrixa1,1 cdots a1,nvdots ddots vdots am,1 cdots am,nendpmatrixdi cui in effetti a. Axbdisplaystyle Acdot mathbf x mathbf b Il sistema pu essere descritto usando la matrice completa A,ba. A,mathbf b leftbeginmatrixa1,1 cdots a1,n b1vdots ddots vdots vdots am,1 cdots am,n bmendmatrixrightdetta matrice associata al sistema. Essa ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti. Le matrici A displaystyle A e A,bdisplaystyle A,mathbf b sono dette rispettivamente matrice incompleta o matrice dei coefficienti e completa o orlata. I numeri x. 1,xndisplaystyle x1,dots ,xn sono le incognite, i numeri aijdisplaystyle aij sono i coefficienti ed i numeri bidisplaystyle bi i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi. Il grado di un sistema di equazioni polinomiali definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare un sistema polinomiale di primo grado. In generale, un sistema lineare pu essere Determinato, quando ha una sola soluzione. Impossibile, quando non ha nessuna soluzione. Indeterminato, quando ha infinite soluzioni. Numerico, quando le soluzioni sono rappresentate da numeri. Letterale, quando le soluzioni sono rappresentate da espressioni letterali. I/51D%2BFAMSpaL.jpg' alt='Linear Algebra By Hoffman And Kunze Pdf' title='Linear Algebra By Hoffman And Kunze Pdf' />Omogeneo, quando i termini noti sono tutti zero. Se il campo Kdisplaystyle K di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine ndisplaystyle n infinito, ci sono tre possibilit esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema il teorema di Rouch Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di Kndisplaystyle Kn. Si consideri loperazione lineare Lxinxi. Aidisplaystyle Lmathbf x sum inxiAiIl nucleo di Ldisplaystyle L lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre limmagine lo spazio generato dalle colonne A1,Andisplaystyle A1,ldots ,An. Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni pi il rango per colonne di Adisplaystyle A pari ad ndisplaystyle n. Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di Adisplaystyle A. La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad ndisplaystyle n. Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango rdisplaystyle r per righe pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione nrdisplaystyle n r. Download Good Workmanship In Electrical Construction Pdf on this page. Lo spazio delle soluzioni dunque un sottospazio vettoriale di dimensionenAdisplaystyle n rho A. Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore bdisplaystyle mathbf b limmagine del vettore xdisplaystyle mathbf x ottenuta mediante lapplicazione lineare. LA KnKmdisplaystyle LAcolon Knto Km definita nel seguente modo LAxAx displaystyle LAmathbf x Amathbf x Limmagine di LAdisplaystyle LA generata dai vettori dati dalle colonne di Adisplaystyle A, e quindi bdisplaystyle mathbf b nellimmagine se e solo se lo span delle colonne di Adisplaystyle A contiene bdisplaystyle mathbf b, cio se e solo se lo spazio generato dalle colonne di Adisplaystyle A uguale allo spazio generato dalle colonne di Abdisplaystyle Amathbf b. In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouch Capelli. Se esiste una soluzione x. Av0displaystyle Amathbf v 0Infatti Ax. Ax. 0Avb0b displaystyle Amathbf x 0mathbf v Amathbf x 0Amathbf v mathbf b mathbf 0 mathbf b Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore x. SolA,bx. 0SolA,0displaystyle operatorname Sol A,mathbf b mathbf x 0operatorname Sol A,mathbf 0 La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Per il teorema di Rouch Capelli tale soluzione unica se e solo se il rango della matrice Adisplaystyle A ndisplaystyle n. Altrimenti se il campo Kdisplaystyle K infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di Ktdisplaystyle Kt, avente come dimensione la nullit tnrkAdisplaystyle tn operatorname rk A della matrice. Dato un sistema lineare nella forma. Axbdisplaystyle Acdot mathbf x mathbf b dove xdisplaystyle mathbf x il vettore colonna delle incognite, bdisplaystyle mathbf b il vettore colonna dei termini noti e Adisplaystyle A la matrice dei coefficienti ed quadrata e invertibile, la soluzione unica ed pari al prodotto A1bdisplaystyle A 1cdot mathbf b dove A1displaystyle A 1 linversa di Adisplaystyle A. Il calcolo della matrice inversa spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa. Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, la regola di Cramer.